ellipsoida

Luasan Putaran

Suatu ellips pada bidang XOY diputar mengelilingi sumbu x.

Persamaan ellips pada bidang XOY berbentuk.

Misalkan T(x₀, y₀, z₀) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi.

Z₀ = 0              .............................................               (1)

       .............................................               (2)

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x=x₀

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui oleh T adalah

                x=x_{0                                                      .............................}   (3)

                   .................       (4)

Dengan mengeliminasi  x_0, y_0, dan  z₀ dari persamaan (1) sampai dengan (4) kita memperoleh persamaan

          

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida  putaran dengan sumbu putar sumbu x.

Jika sumbu putarnya adalah sumbu y maka persamaan ellipsoida diperoleh sebagai berikut. Persamaan elips yang diputar adalah

            z = 0

           

Misalkan T (x₀, y₀, z₀) sebarang titik pada ellips, maka harus dipenuhi

                  ....................................................            (6)

Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah

            y = y₀               .................................................                       (7)

              ........................                        (8)

Dengan mengeliminasi x₀, y₀, dan z₀ dari persamaan (5) sampai dengan (8) kia memperoleh persamaan ellipsoida putaran

Titik puncaknya adalah (a,0,0), (-a,0,0), (0,b,0), (0,-b,0), (0,0,c), dan (0,0,-c).

Contoh 1 :

Suatu ellips dengan persamaan    diputar mengelilingi sumbu x. Tentukan persamaan ellipsoida putaran yang terbentuk.

Penyelesaian

Misalkan T (x₀, y₀, z_o) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi

y₀ = 0                                       ................................................ (9)

             ................................................. (10)

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x_0.

Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah

 

Jadi persamaan lingkaran yang melalui T adalah

x = x₀                                                   .................................... (11)

      ..................................... (12)

Dari persamaan (10) dan (11) kita memperoleh

Substitusikan x₀, y₀, dan z₀ ke dalam persamaan (12) sehingga kita memperoleh persamaan luasan yang terjadi    atau 

Luasan berderajat dua

Pada bidang XOY terletak ellips dengan persamaan

Pada bidang YOZ terletak ellips dengan persamaan

Kedua ellips di atas mempunyai puncak-puncak yang sama pada sumbu y.

Selanjutnya ellips yang terleyak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan sebagai berikut:

a.       Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY

b.      Titik pusatnya tetap pada sumbu z

c.       Dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pda bidang XOY

d.      Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Berarti ellips pada bidang YOZ merupakan baris arah dari ellips yang bergerak. Adapun persamaan luasan yang terjadi dapat dicari sebagai berikut:

Misalkan ellips                   Digerakkan sehingga terletak pada         

bidang dan setengah sumbu-sumbunya adalah x₀ dan y₀ berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan (a), (b), (c) maka titik (0,y₀,) terletak pada ellips

Sehingga memenuhi 

Karena aturan (a), (b),dan (d) maka dipenuhi 

Atau

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z = tersebut adalah :

  

Dengan mengeliminasi  dan persamaan ellips ini, kita memperoleh persamaan

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida dengan titi pusat O dan sumbu-sumbunya berimpitdengan sumbu-sumbu koordinat. Jika dua di antara a, b dan c adalah sama maka ellipsoida tersebut merupakan suatu ellipsoida putaran. Jika a = b = c maka ellipsoida tersebut merupakan bola.